真题

2025 年 · 22 题

• 第 1 题选择
  设函数 $z=z\left(x,y\right)$ 由 $z+\ln z-{\int }_y^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$

  A. $\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}-e^{-y^2}\right)$

  B. $\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}+e^{-y^2}\right)$

  C. $-\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}-e^{-y^2}\right)$

  D. $-\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}+e^{-y^2}\right)$
  答案与解析

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• 第 2 题选择
  已知函数 $f\left(x\right)={\int }_0^x{e}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t$，$g\left(x\right)={\int }_0^x{e}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t\cdot {\sin }^{2}x$，则

  A. $x=0$ 是 $f\left(x\right)$ 的极值点，也是 $g\left(x\right)$ 的极值点.

  B. $x=0$ 是 $f\left(x\right)$ 的极值点，$\left(0,0\right)$ 是曲线 $y=g\left(x\right)$ 的拐点.

  C. $x=0$ 是 $f\left(x\right)$ 的极值点，$\left(0,0\right)$ 是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的拐点.

  D. $\left(0,0\right)$ 是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的极值点，也是曲线 $y=g\left(x\right)$ 的拐点.
  答案与解析

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• 第 3 题选择
  如果对微分方程 $y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+\left(a+2\right)y=0$ 的任一解 $y\left(x\right)$，反常积分 ${\int }_0^{+\infty }y\left(x\right)\mathrm{d}x$ 均收敛，那么 $a$ 的取值范围是

  A. $\left(-2,-1\right]$

  B. $\left(-\infty ,-1\right]$

  C. $\left(-2,0\right)$

  D. $\left(-\infty ,0\right)$
  答案与解析

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• 第 4 题选择
  设函数 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零.若当 $x\to 0$ 时，$f\left(x\right)$ 是 $g\left(x\right)$ 的高阶无穷小，则当 $x\to 0$ 时，

  A. $f\left(x\right)+g\left(x\right)=O\left(g\left(x\right)\right)$.

  B. $f\left(x\right)g\left(x\right)=o\left(f^2\left(x\right)\right)$.

  C. $f\left(x\right)=o\left(e^{g\left(x\right)}-1\right)$.

  D. $f\left(x\right)=o\left(g^2\left(x\right)\right)$.
  答案与解析

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• 第 5 题选择
  设函数 $f\left(x,y\right)$ 连续，则 ${\int }_{-2}^2\mathrm{d}x{\int }_{4-x^2}^{2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=$

  A. ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$

  B. ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{\sqrt{4-y}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$

  C. ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x+{\int }_2^{\sqrt{4-y}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$

  D. $2{\int }_0^4\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x$
  答案与解析

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• 第 6 题选择
  设单位质点 $P$，$Q$ 分别位于点 $\left(0,0\right)$ 和 $\left(0,1\right)$ 处，$P$ 从点 $\left(0,0\right)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $\left(1,0\right)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为

  A. ${\int }_0^1\frac{G}{x^2+1}\mathrm{d}x$

  B. ${\int }_0^1\frac{Gx}{{\left(x^2+1\right)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$

  C. ${\int }_0^1\frac{G}{{\left(x^2+1\right)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$

  D. ${\int }_0^1\frac{G\left(x+1\right)}{{\left(x^2+1\right)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$
  答案与解析

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• 第 7 题选择
  设函数 $f\left(x\right)$ 连续，给出下列四个条件：

  ① ${\lim }_{x\to 0}\frac{|f\left(x\right)|-f\left(0\right)}{x}$ 存在；

  ② ${\lim }_{x\to 0}\frac{f\left(x\right)-|f\left(0\right)|}{x}$ 存在；

  ③ ${\lim }_{x\to 0}\frac{|f\left(x\right)|}{x}$ 存在；

  ④ ${\lim }_{x\to 0}\frac{|f\left(x\right)|-|f\left(0\right)|}{x}$ 存在.

  其中能得到 “$f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导” 的条件的个数是

  A. 1

  B. 2

  C. 3

  D. 4
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• 第 8 题选择
  设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则

  A. $a>4$，$b>0$

  B. $a<4$，$b>0$

  C. $a>4$，$b<0$

  D. $a<4$，$b<0$
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• 第 9 题选择
  下列矩阵中，可以经过若干初等变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 的是

  A. $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 2& 1& 3\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right)$

  B. $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 5\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$

  C. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

  D. $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 2& 2& 3\\ 2& 3& 4& 6\end{array}\right)$
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• 第 10 题选择
  设 3 阶矩阵 $\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$ 满足 $r\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)=r\left(\mathbf{B}\mathbf{A}\right)+1$，则

  A. 方程组 $\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\mathbf{x}=0$ 只有零解.

  B. 方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与方程组 $\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 均只有零解.

  C. 方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与方程组 $\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 没有公共非零解.

  D. 方程组 $\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与方程组 $\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 有公共非零解.
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• 第 11 题填空
  设 ${\int }_1^{+\infty }\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{d}x=\ln 2$，则 $a=$ ________.
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• 第 12 题填空
  曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}$ 的渐近线方程为 ________.
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• 第 13 题填空
  ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2\ln \frac{2}{n}+\cdots +\left(n-1\right)\ln \frac{n-1}{n}\right]=$ ________.
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• 第 14 题填空
  已知函数 $y=y\left(x\right)$ 由 $\{\begin{array}{rl}x& =\ln \left(1+2t\right),\\ 2t-{\int }_1^{y+t^2}{e}^{-u^2}\mathrm{d}u& =0\end{array}$

  确定，则 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}=$ ________.
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• 第 15 题填空
  微分方程 $\left(2y-3x\right)\mathrm{d}x+\left(2x-5y\right)\mathrm{d}y=0$ 满足条件 $y\left(1\right)=1$ 的解为 ________.
  答案与解析

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• 第 16 题填空
  设矩阵 $\mathbf{A}=\left({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4\right)$.若 ${\mathbf{\alpha }}_1$，${\mathbf{\alpha }}_2$，${\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，且 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4$，则方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{\alpha }}_1+4{\mathbf{\alpha }}_4$ 的通解为 ________.
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• 第 17 题解答
  （本题满分 10 分）

  计算 ${\int }_0^1\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^2-2x+2\right)}\mathrm{d}x$.
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• 第 18 题解答
  （本题满分 12 分）

  设函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续，且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{xf\left(x\right)-e^{2\sin x}+1}{\ln \left(1+x\right)+\ln \left(1-x\right)}=-3$，证明 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导，并求 $f^{\prime }\left(0\right)$.
  答案与解析

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• 第 19 题解答
  （本题满分 12 分）

  设函数 $f\left(x,y\right)$ 可微且满足 $\mathrm{d}f\left(x,y\right)=-2x{e}^{-y}\mathrm{d}x+e^{-y}\left(x^2-y-1\right)\mathrm{d}y$，$f\left(0,0\right)=2$，求 $f\left(x,y\right)$，并求 $f\left(x,y\right)$ 的极值.
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• 第 20 题解答
  （本题满分 12 分）

  已知平面有界区域 $D=\left\{\left(x,y\right)\mid x^2+y^2\le 4x,x^2+y^2\le 4y\right\}$，计算 ${\iint }_D{\left(x-y\right)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.
  答案与解析

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• 第 21 题解答
  （本题满分 12 分）

  设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(a,b\right)$ 内可导，证明：导函数 $f^{\prime }\left(x\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 内严格单调递增的充分必要条件是：对 $\left(a,b\right)$ 内任意的 $x_1$，$x_2$，$x_3$，当 $x_1<x_2<x_3$ 时，有

  $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$.
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• 第 22 题解答
  （本题满分 12 分）

  已知矩阵

  $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right)$，

  $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

  合同.

  求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围；

  若存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$，使得 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$，求 $k$ 及 $\mathbf{Q}$.
  答案与解析

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