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大纲线代二
矩阵
逆、伴随、初等变换、秩、分块
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教材：同济《线性代数》第六版 第二、三章
讲义：第 2 讲 矩阵 · 印刷页 45–81
矩阵运算
4 知识点 · 4 卡
矩阵乘法「不成立」的三条规律及正确的转置、幂运算规则
问答
必背
若
A
k
=
O
，则
E
−
A
可逆且
(
E
−
A
)
−
1
=
E
+
A
+
A
2
+
⋯
+
A
k
−
1
；若
A
2
−
A
−
2
E
=
O
，则
A
−
1
=
2
1
(
A
−
E
)
填空
迹的性质：
tr
(
A
B
)
=
tr
(
B
A
)
，
tr
(
A
)
=
∑
λ
i
，
tr
(
α
β
T
)
=
β
T
α
填空
已知
A
与
B
=
f
(
A
)
（多项式）的关系式求
B
−
1
或证明可逆的思路
步骤
逆矩阵
3 知识点 · 3 卡
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
，
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
，
(
k
A
)
−
1
=
k
1
A
−
1
，
∣
A
−
1
∣
=
∣
A
∣
−
1
；而
(
A
+
B
)
−
1
一般
=
A
−
1
+
B
−
1
填空
必背
求逆矩阵与解矩阵方程的初等变换法；矩阵方程的三种基本形式
问答
必背
若
A
,
B
均为
n
阶可逆矩阵，则
A
+
B
可逆。
判断
伴随矩阵
3 知识点 · 3 卡
A
A
∗
=
A
∗
A
=
∣
A
∣
E
；
A
−
1
=
∣
A
∣
A
∗
；
A
∗
=
∣
A
∣
A
−
1
；
(
A
∗
)
−
1
=
(
A
−
1
)
∗
=
∣
A
∣
A
填空
必背
∣
A
∗
∣
=
∣
A
∣
n
−
1
，
(
A
∗
)
∗
=
∣
A
∣
n
−
2
A
，
(
k
A
)
∗
=
k
n
−
1
A
∗
，
(
A
B
)
∗
=
B
∗
A
∗
，
(
A
T
)
∗
=
(
A
∗
)
T
填空
必背
r
(
A
∗
)
=
⎩
⎨
⎧
n
,
1
,
0
,
r
(
A
)
=
n
r
(
A
)
=
n
−
1
r
(
A
)
<
n
−
1
填空
必背
初等变换
2 知识点 · 2 卡
初等矩阵的三种类型、「左行右列」法则、逆矩阵
问答
必背
对矩阵作初等行变换，不改变其列向量组之间的线性关系。
判断
必背
秩
2 知识点 · 3 卡
矩阵秩的重要性质（按「定义 → 运算 → 变形」三组记忆）
步骤
必背
若
r
(
A
)
=
r
，则
A
中所有
r
阶子式都不为零。
判断
秩的重要不等式：
r
(
A
B
)
≤
min
{
r
(
A
)
,
r
(
B
)}
；
r
(
A
+
B
)
≤
r
(
A
)
+
r
(
B
)
；若
A
m
×
n
B
n
×
s
=
O
，则
r
(
A
)
+
r
(
B
)
≤
n
；
r
(
A
T
A
)
=
r
(
A
)
填空
必背
分块矩阵
1 知识点 · 1 卡
三个常用分块矩阵求逆公式
问答
矩阵幂
1 知识点 · 1 卡
求
A
n
的 5 种方法
问答
必背
特殊矩阵
2 知识点 · 3 卡
正交矩阵的定义、等价条件与性质
问答
必背
对称矩阵、反对称矩阵的构造与性质；幂等/对合矩阵的秩关系
问答
正交矩阵的定义与四条常用性质
问答
等价
1 知识点 · 1 卡
矩阵等价的定义、判定与等价标准形
问答
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