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大纲高数四（数一：高数四 · 数二：高数四）
多元函数微分学
偏导可微、链式法则、隐函数、极值；数一含方向导数与几何应用
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教材：同济《高等数学》第七版 第九章
讲义：第 13 讲 多元函数微分学 · 印刷页 304–337
极限与连续
1 知识点 · 1 卡
二元函数极限的定义特点；如何证明二元极限不存在？
问答
必背
偏导与全微分
6 知识点 · 8 卡
二元函数连续、偏导存在、可微、偏导连续之间的关系图
问答
必背
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
Δ
x
→
0
lim
Δ
x
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
；求
f
x
(
x
0
,
y
0
)
的技巧：先令
y
=
y
0
得一元函数
f
(
x
,
y
0
)
再对
x
求导
填空
必背
判断
f
(
x
,
y
)
在
(
x
0
,
y
0
)
处是否可微的标准步骤
步骤
必背
二阶混合偏导数
f
x
y
与
f
y
x
相等的充分条件：两者在该点
连续
；全微分形式不变性：无论
u
,
v
是自变量还是中间变量，都有
d
z
=
∂
u
∂
z
d
u
+
∂
v
∂
z
d
v
填空
若
f
(
x
,
y
)
在
(
x
0
,
y
0
)
处两个偏导数都存在，则
f
在该点连续。
判断
已知全微分
d
z
=
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
，如何求
z
(
x
,
y
)
？
问答
二元函数四性质链条：偏导数连续
⇒
可微
⇒
连续
，且可微
⇒
偏导数存在
；所有箭头均
不可
逆，「连续」与「偏导存在」
互不蕴含
填空
必背
按定义判定 f(x,y) 在 (0,0) 处是否可微的步骤
步骤
必背
复合函数求导
2 知识点 · 3 卡
设
z
=
f
(
u
,
v
)
，
u
=
u
(
x
,
y
)
，
v
=
v
(
x
,
y
)
，写出
∂
x
∂
z
；抽象函数记号
f
1
′
,
f
12
′′
的含义与求二阶偏导的要点
问答
必背
用变量代换化简含二阶偏导的方程（如令
u
=
x
+
a
y
,
v
=
x
+
b
y
，把关于
z
(
x
,
y
)
的方程化为关于
u
,
v
的方程）的步骤
步骤
设
z
=
f
(
u
,
v
)
，
u
=
u
(
x
,
y
)
,
v
=
v
(
x
,
y
)
，
f
具有二阶连续偏导。写出
∂
x
∂
z
与
∂
x
∂
y
∂
2
z
，并说明记号
f
1
′
,
f
12
′′
的含义
问答
必背
隐函数求导
2 知识点 · 2 卡
F
(
x
,
y
)
=
0
：
d
x
d
y
=
−
F
y
F
x
；
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
：
∂
x
∂
z
=
−
F
z
F
x
，
∂
y
∂
z
=
−
F
z
F
y
填空
必背
隐函数存在定理的条件与结论
问答
极值
5 知识点 · 6 卡
二元函数无条件极值的必要条件与充分条件（判别式）
问答
必背
拉格朗日乘数法求条件极值的步骤（约束
φ
(
x
,
y
,
z
)
=
0
）
步骤
必背
求有界闭区域 D 上连续函数的最大值与最小值的步骤
步骤
必背
若
(
x
0
,
y
0
)
是
f
(
x
,
y
)
的极值点，则
x
0
是一元函数
f
(
x
,
y
0
)
的极值点，
y
0
是
f
(
x
0
,
y
)
的极值点。
判断
求
z
=
f
(
x
,
y
)
由方程
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
确定时的极值（隐函数极值）的步骤
问答
拉格朗日乘数法：构造
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
φ
(
x
,
y
)
；解方程组
L
x
=
0
,
L
y
=
0
,
L
λ
=
φ
=
0
得全部可疑点；最后
比较各点函数值 / 由实际意义
确定最值（不做二阶判别）
填空
必背
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