章节
大纲高数三
一元函数积分学
积分表、定积分技巧、反常积分、几何与物理应用
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顺序通读
教材：同济《高等数学》第七版 第四、五、六章
讲义：第 8 讲 一元函数积分学的概念与性质 · 印刷页 195–229；第 9 讲 一元函数积分学的计算 · 印刷页 230–262；第 10 讲 一元函数积分学的应用（一）几何应用 · 印刷页 263–281
原函数
1 知识点 · 1 卡
原函数存在定理；哪些函数一定没有原函数？
问答
必背
基本积分表
11 知识点 · 11 卡
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
∣
cos
x
∣
+
C
，
∫
cot
x
d
x
=
ln
∣
sin
x
∣
+
C
填空
必背
∫
sec
x
d
x
=
ln
∣
sec
x
+
tan
x
∣
+
C
，
∫
csc
x
d
x
=
ln
∣
csc
x
−
cot
x
∣
+
C
填空
必背
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
，
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
，
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
，
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
∫
tan
2
x
d
x
=
tan
x
−
x
+
C
，
∫
cot
2
x
d
x
=
−
cot
x
−
x
+
C
填空
必背
∫
a
2
+
x
2
d
x
=
a
1
arctan
a
x
+
C
，
∫
a
2
−
x
2
d
x
=
arcsin
a
x
+
C
∫
x
2
−
a
2
d
x
=
2
a
1
ln
x
+
a
x
−
a
+
C
，
∫
a
2
−
x
2
d
x
=
2
a
1
ln
a
−
x
a
+
x
+
C
填空
必背
∫
x
2
±
a
2
d
x
=
ln
x
+
x
2
±
a
2
+
C
填空
必背
∫
a
2
−
x
2
d
x
=
2
x
a
2
−
x
2
+
2
a
2
arcsin
a
x
+
C
填空
∫
x
2
±
a
2
d
x
=
2
x
x
2
±
a
2
±
2
a
2
ln
x
+
x
2
±
a
2
+
C
填空
∫
e
a
x
sin
b
x
d
x
=
a
2
+
b
2
e
a
x
(
a
sin
b
x
−
b
cos
b
x
)
+
C
，
∫
e
a
x
cos
b
x
d
x
=
a
2
+
b
2
e
a
x
(
a
cos
b
x
+
b
sin
b
x
)
+
C
填空
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
，
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
2
1
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
，
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
填空
∫
1
+
cos
x
d
x
=
tan
2
x
+
C
，
∫
1
−
cos
x
d
x
=
−
cot
2
x
+
C
，
∫
sin
x
cos
x
d
x
=
ln
∣
tan
x
∣
+
C
填空
∫
x
x
2
−
a
2
d
x
=
a
1
arccos
∣
x
∣
a
+
C
（或
a
1
arcsec
a
∣
x
∣
）；
∫
a
2
±
x
2
x
d
x
=
±
a
2
±
x
2
+
C
填空
积分方法
5 知识点 · 5 卡
三角换元的三种情形及 t 的取值范围
问答
必背
分部积分
∫
u
d
v
=
uv
−
∫
v
d
u
；选
u
的优先顺序：
反、对、幂、三、指
（越靠前越优先当
u
）
填空
必背
有理函数积分（部分分式法）的步骤
步骤
必背
三角有理式
∫
R
(
sin
x
,
cos
x
)
d
x
的换元选择策略
问答
∫
x
d
x
=
ln
x
+
C
。
判断
定积分概念
1 知识点 · 1 卡
定积分的定义；可积的充分条件与必要条件
问答
必背
定积分性质
2 知识点 · 2 卡
定积分的比较性质、估值定理、积分中值定理（含推广形式）
问答
必背
柯西–施瓦茨不等式：
(
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
)
2
≤
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
⋅
∫
a
b
g
2
(
x
)
d
x
填空
变限积分
3 知识点 · 3 卡
d
x
d
∫
φ
(
x
)
ψ
(
x
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
ψ
(
x
))
ψ
′
(
x
)
−
f
(
φ
(
x
))
φ
′
(
x
)
填空
必背
变限积分
Φ
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
的连续性、可导性、奇偶性结论
问答
必背
含变限积分的极限
x
→
0
lim
g
(
x
)
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
类题目的处理方式
问答
定积分计算
5 知识点 · 7 卡
牛顿–莱布尼茨公式及其使用条件；换元法的三个要点
问答
必背
对称区间、周期函数、区间再现三类简化公式
问答
必背
华里士（Wallis）公式及其推广到
[
0
,
π
]
、
[
0
,
2
π
]
问答
必背
∫
0
2
π
1
−
cos
2
x
d
x
=
2
∫
0
2
π
sin
x
d
x
=
0
。
判断
∫
0
a
x
k
a
2
−
x
2
d
x
、
∫
0
2
π
1
+
t
a
n
α
x
d
x
、
∫
0
1
1
+
x
2
l
n
(
1
+
x
)
d
x
这三类「有固定技巧」的定积分怎么处理？
问答
华里士（Wallis）公式：
I
n
=
∫
0
π
/2
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
/2
cos
n
x
d
x
=
当
n
为偶数时
n
n
−
1
⋅
n
−
2
n
−
3
⋯
2
1
⋅
2
π
，当
n
为奇数时
n
n
−
1
⋅
n
−
2
n
−
3
⋯
3
2
⋅
1
填空
必背
区间再现公式及其两大高频导出式：
① 基准公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
a
+
b
−
x
)
d
x
；
② 导出式一（消因子）：
∫
0
π
x
f
(
sin
x
)
d
x
=
2
π
∫
0
π
f
(
sin
x
)
d
x
；
③ 导出式二（互余和）：
∫
0
π
/2
f
(
sin
x
)
+
f
(
cos
x
)
f
(
sin
x
)
d
x
=
4
π
填空
必背
反常积分
4 知识点 · 5 卡
三个基准反常积分的敛散性（p 积分）
问答
必背
反常积分敛散性的判别流程（比较法与极限形式）
问答
∫
0
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
2
π
，
∫
0
+
∞
x
n
e
−
x
d
x
=
n
!
，
∫
0
+
∞
1
+
x
2
d
x
=
2
π
，
∫
0
+
∞
e
−
a
x
d
x
=
a
1
(
a
>
0
)
填空
必背
两类反常积分的敛散判据（
p
积分）：
∫
a
+
∞
x
p
d
x
（
a
>
0
）当
p
>
1
时收敛；
∫
0
a
x
p
d
x
当
p
<
1
时收敛；
∫
2
+
∞
x
ln
p
x
d
x
当
p
>
1
时收敛
填空
伽马函数：
Γ
(
s
)
=
∫
0
+
∞
x
s
−
1
e
−
x
d
x
（
s
>
0
）；递推
Γ
(
s
+
1
)
=
s
Γ
(
s
)
，故
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
；特别地
Γ
(
2
1
)
=
π
填空
定积分应用
6 知识点 · 10 卡
平面图形面积：直角坐标、参数方程、极坐标三种公式
问答
必背
旋转体体积：绕 x 轴、绕 y 轴（柱壳法）、绕任意直线
问答
必背
弧长公式（三种形式）与旋转曲面面积公式
问答
必背
定积分的物理应用：变力做功、液体静压力、引力、质心/形心
问答
定积分应用题（面积/体积/弧长）的通用解题流程
步骤
平面曲线弧长：
y
=
f
(
x
)
,
a
≤
x
≤
b
：
s
=
∫
a
b
1
+
f
′2
(
x
)
d
x
；参数方程：
s
=
∫
α
β
x
′2
(
t
)
+
y
′2
(
t
)
d
t
；极坐标
r
=
r
(
θ
)
：
s
=
∫
α
β
r
2
(
θ
)
+
r
′2
(
θ
)
d
θ
填空
必背
曲线
y
=
f
(
x
)
≥
0
（
a
≤
x
≤
b
）绕
x
轴旋转所得
侧面积
S
=
2
π
∫
a
b
f
(
x
)
1
+
f
′2
(
x
)
d
x
；参数方程时
S
=
2
π
∫
α
β
∣
y
(
t
)
∣
x
′2
+
y
′2
d
t
填空
定积分应用题的微元法建模步骤（变力做功、静压力、引力通用）
步骤
平面薄片（由
y
=
f
(
x
)
≥
0
、
x
=
a
,
b
与
x
轴围成，密度均匀）的形心：
x
ˉ
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
，
y
ˉ
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
2
1
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
填空
函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的平均值
f
ˉ
=
b
−
a
1
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
；极坐标曲线
r
=
r
(
θ
)
（
α
≤
θ
≤
β
）围成的扇形面积
A
=
2
1
∫
α
β
r
2
(
θ
)
d
θ
填空
积分不等式
1 知识点 · 1 卡
证明含定积分的不等关系（积分不等式）的通用思路
步骤
必背
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