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大纲高数二
一元函数微分学
导数公式、中值定理、极值拐点、曲率
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教材：同济《高等数学》第七版 第二、三章
讲义：第 3 讲 一元函数微分学的概念 · 印刷页 99–118；第 4 讲 一元函数微分学的计算 · 印刷页 119–138；第 6 讲 一元函数微分学的应用（二）中值定理、微分等式与不等式 · 印刷页 164–185；第 1 讲 函数极限与连续 · 印刷页 1–75；第 5 讲 一元函数微分学的应用（一）几何应用 · 印刷页 139–163
导数定义
5 知识点 · 5 卡
f
′
(
x
0
)
=
Δ
x
→
0
lim
Δ
x
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
=
x
→
x
0
lim
x
−
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
填空
必背
若
f
在
x
0
可导，则
h
→
0
lim
h
f
(
x
0
+
ah
)
−
f
(
x
0
−
bh
)
=
(
a
+
b
)
f
′
(
x
0
)
填空
必背
可导、连续、可微之间的关系（一元函数）；左右导数与可导的关系
问答
必背
分段函数在分段点处的导数怎么求？「导函数极限定理」内容是什么？
问答
必背
设
f
(
x
)
=
∣
x
∣
g
(
x
)
，
g
连续，则
f
在
x
=
0
处可导的充要条件是
g
(
0
)
=
0
。
判断
微分
2 知识点 · 2 卡
可微定义：
Δ
y
=
A
Δ
x
+
o
(
Δ
x
)
，此时
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
，且
Δ
y
−
d
y
=
o
(
Δ
x
)
填空
微分近似计算：
f
(
x
0
+
Δ
x
)
≈
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
Δ
x
；相关变化率：对含
x
(
t
)
,
y
(
t
)
的关系式两边
对
t
求导
填空
基本导数公式
3 知识点 · 3 卡
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
，
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
，
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
，
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
填空
必背
(
arcsin
x
)
′
=
1
−
x
2
1
，
(
arccos
x
)
′
=
−
1
−
x
2
1
，
(
arctan
x
)
′
=
1
+
x
2
1
，
(
arccot
x
)
′
=
−
1
+
x
2
1
填空
必背
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
，
(
lo
g
a
x
)
′
=
x
ln
a
1
，
(
ln
∣
x
∣
)
′
=
x
1
，
(
ln
(
x
+
x
2
+
a
2
)
)
′
=
x
2
+
a
2
1
填空
必背
高阶导数
3 知识点 · 3 卡
常用高阶导数公式（回忆第
n
阶导数通项结构）：
(
sin
x
)
(
n
)
=
sin
(
x
+
2
nπ
)
(
cos
x
)
(
n
)
=
cos
(
x
+
2
nπ
)
(
x
+
a
1
)
(
n
)
=
(
x
+
a
)
n
+
1
(
−
1
)
n
n
!
(
ln
(
1
+
x
)
)
(
n
)
=
(
1
+
x
)
n
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)!
(
e
a
x
)
(
n
)
=
a
n
e
a
x
填空
必背
莱布尼茨公式：
(
uv
)
(
n
)
=
k
=
0
∑
n
C
n
k
u
(
k
)
v
(
n
−
k
)
填空
必背
如何用泰勒展开求
f
(
n
)
(
0
)
？
问答
必背
求导法则
4 知识点 · 4 卡
参数方程
x
=
φ
(
t
)
,
y
=
ψ
(
t
)
：
d
x
d
y
=
φ
′
(
t
)
ψ
′
(
t
)
，
d
x
2
d
2
y
=
[
φ
′
(
t
)
]
3
ψ
′′
(
t
)
φ
′
(
t
)
−
ψ
′
(
t
)
φ
′′
(
t
)
填空
必背
幂指函数
y
=
u
(
x
)
v
(
x
)
的导数：
y
′
=
u
v
(
v
′
ln
u
+
u
v
u
′
)
填空
隐函数
F
(
x
,
y
)
=
0
求
y
′
与
y
′′
的步骤
步骤
对数求导法：用于幂指函数
y
=
u
v
与多因子乘除
y
=
g
1
g
2
⋯
f
1
f
2
⋯
。两边取对数
ln
y
=
v
ln
u
（乘除型展开为对数加减），对
x
求导得
y
y
′
=
v
′
ln
u
+
u
v
u
′
，最后回乘
y
填空
中值定理
6 知识点 · 7 卡
费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件与结论
问答
必背
证明「存在
ξ
使 …
=
0
」时，常见结论对应的辅助函数
问答
必背
拉格朗日中值定理的两个推论；导函数的两条特殊性质
问答
「双中值」证明题（需要
ξ
,
η
两个中值）的处理思路
步骤
必背
「证明存在
ξ
使等式成立」的辅助函数构造思路
步骤
必背
带拉格朗日余项的泰勒公式：
f
(
x
)
=
k
=
0
∑
n
k
!
f
(
k
)
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
k
+
(
n
+
1
)!
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
x
−
x
0
)
n
+
1
，
ξ
介于
x
0
与
x
之间；佩亚诺余项则写作
o
((
x
−
x
0
)
n
)
填空
必背
罗尔定理常见辅助函数构造速查（微分方程还原法）：
若证
f
′
(
ξ
)
+
λ
f
(
ξ
)
=
0
，构造
F
(
x
)
=
e
λ
x
f
(
x
)
；
若证
ξ
f
′
(
ξ
)
+
n
f
(
ξ
)
=
0
，构造
F
(
x
)
=
x
n
f
(
x
)
；
若证
f
′
(
ξ
)
+
g
′
(
ξ
)
f
(
ξ
)
=
0
，构造
F
(
x
)
=
e
g
(
x
)
f
(
x
)
；
若证
f
′
(
ξ
)
g
(
ξ
)
+
f
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
=
0
，构造
F
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
；
若证
f
′
(
ξ
)
g
(
ξ
)
−
f
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
=
0
，构造
F
(
x
)
=
g
(
x
)
f
(
x
)
；
若证
f
′′
(
ξ
)
+
f
(
ξ
)
=
0
，构造
F
(
x
)
=
f
2
(
x
)
+
f
′2
(
x
)
填空
必背
泰勒公式
1 知识点 · 1 卡
泰勒公式（拉格朗日余项与佩亚诺余项）的形式；各自的适用场景
问答
必背
洛必达法则
1 知识点 · 1 卡
洛必达法则的三个条件及三个常见误用
问答
必背
单调与极值
4 知识点 · 4 卡
极值的必要条件、第一充分条件、第二充分条件
问答
必背
若
f
′
(
x
0
)
=
⋯
=
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
0
，
f
(
n
)
(
x
0
)
=
0
：
n
为偶数时
x
0
是
极值点（
f
(
n
)
(
x
0
)
>
0
极小，
<
0
极大）
；
n
为奇数时
x
0
不是极值点
，且当
n
≥
3
时
(
x
0
,
f
(
x
0
))
是
拐点
填空
若
f
′
(
x
0
)
>
0
，则存在
x
0
的某邻域使
f
(
x
)
在该邻域内单调递增。
判断
数
f
(
x
)
=
0
实根个数的核心规则：先求
f
′
划分
单调区间
；每个单调区间上，两端函数值（或极限）
异号
时恰有一个根，
同号
时无根；含参数时转化为
y
=
g
(
x
)
与
y
=
k
的
交点
个数，按参数与极值的大小关系讨论
填空
凹凸与拐点
1 知识点 · 1 卡
凹凸性的定义、判定与拐点的定义、必要条件、充分条件
问答
必背
渐近线
1 知识点 · 1 卡
三种渐近线的求法与注意事项
问答
必背
曲率
1 知识点 · 2 卡
曲率
K
=
(
1
+
y
′2
)
3/2
∣
y
′′
∣
，曲率半径
R
=
K
1
；参数方程
K
=
(
x
′2
+
y
′2
)
3/2
∣
x
′
y
′′
−
x
′′
y
′
∣
填空
曲率公式：
y
=
y
(
x
)
时
K
=
(
1
+
y
′2
)
3/2
∣
y
′′
∣
；参数方程时
K
=
(
x
′2
+
y
′2
)
3/2
∣
x
′
y
′′
−
x
′′
y
′
∣
；曲率半径
ρ
=
K
1
填空
切线与法线
1 知识点 · 1 卡
曲线
y
=
f
(
x
)
在
(
x
0
,
y
0
)
处切线：
y
−
y
0
=
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
；法线：
y
−
y
0
=
−
f
′
(
x
0
)
1
(
x
−
x
0
)
；切线在
y
轴截距为
y
0
−
x
0
f
′
(
x
0
)
，在
x
轴截距为
x
0
−
f
′
(
x
0
)
y
0
填空
导数应用
7 知识点 · 7 卡
证明不等式的思路怎么选？（题面信号 → 方法）
问答
必背
讨论方程 f(x)=0 根的个数的标准流程
问答
必背
奇偶函数、周期函数的导数与原函数的奇偶性/周期性
问答
闭区间上求最值的步骤；「唯一极值点即最值点」的条件
问答
函数作图与性态讨论的完整清单（考试中「讨论函数性态」需覆盖的项目）
步骤
弧微分：直角坐标
d
s
=
1
+
y
′2
d
x
；参数方程
d
s
=
x
′2
(
t
)
+
y
′2
(
t
)
d
t
；极坐标
d
s
=
r
2
+
r
′2
d
θ
填空
相关变化率问题的标准解法
步骤
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