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大纲高数一
函数、极限、连续
等价无穷小、泰勒、间断点、闭区间性质
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教材：同济《高等数学》第七版 第一章
讲义：第 1 讲 函数极限与连续 · 印刷页 1–75；第 2 讲 数列极限 · 印刷页 76–98
极限定义
2 知识点 · 2 卡
数列极限
n
→
∞
lim
x
n
=
a
：
∀
ε
>
0
，
∃
N
>
0
，当
n
>
N
时，恒有
∣
x
n
−
a
∣
<
ε
填空
函数极限
x
→
x
0
lim
f
(
x
)
=
A
：
∀
ε
>
0
，
∃
δ
>
0
，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
时，恒有
∣
f
(
x
)
−
A
∣
<
ε
填空
极限性质
4 知识点 · 4 卡
极限存在的充要条件（
x
→
x
0
与
x
→
∞
两种情形）
问答
必背
极限的局部保号性（两个方向）
问答
必背
若
x
→
x
0
lim
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)]
存在且
x
→
x
0
lim
f
(
x
)
存在，则
x
→
x
0
lim
g
(
x
)
必存在。
判断
海涅定理（归结原则）的内容及用途
问答
极限存在准则
1 知识点 · 1 卡
夹逼准则与单调有界准则的内容，以及各自典型应用场景
问答
必背
重要极限
2 知识点 · 2 卡
x
→
0
lim
x
sin
x
=
1
，
x
→
∞
lim
(
1
+
x
1
)
x
=
e
，
x
→
0
lim
(
1
+
x
)
1/
x
=
e
填空
必背
1
∞
型极限公式：若
lim
u
=
1
,
lim
v
=
∞
，则
lim
u
v
=
e
l
i
m
(
u
−
1
)
v
填空
必背
等价无穷小
4 知识点 · 4 卡
x
→
0
时的基本等价无穷小（回忆等号右侧等价结构）：
sin
x
∼
x
tan
x
∼
x
arcsin
x
∼
x
arctan
x
∼
x
ln
(
1
+
x
)
∼
x
e
x
−
1
∼
x
a
x
−
1
∼
x
ln
a
1
−
cos
x
∼
2
1
x
2
(
1
+
x
)
α
−
1
∼
α
x
n
1
+
x
−
1
∼
n
x
填空
必背
x
→
0
时的「差型」高阶等价无穷小（回忆右侧主部系数与幂次）：
x
−
sin
x
∼
6
x
3
arcsin
x
−
x
∼
6
x
3
tan
x
−
x
∼
3
x
3
x
−
arctan
x
∼
3
x
3
tan
x
−
sin
x
∼
2
x
3
x
−
ln
(
1
+
x
)
∼
2
x
2
e
x
−
1
−
x
∼
2
x
2
1
−
cos
x
−
2
x
2
∼
−
24
x
4
填空
必背
等价无穷小替换的使用原则（乘除、加减各什么条件下可用）
问答
必背
x
→
0
时的「差型」等价无穷小：
x
−
sin
x
∼
6
x
3
，
tan
x
−
x
∼
3
x
3
，
x
−
ln
(
1
+
x
)
∼
2
x
2
，
arcsin
x
−
x
∼
6
x
3
，
x
−
arctan
x
∼
3
x
3
填空
必背
泰勒展开
1 知识点 · 1 卡
x
→
0
时常用麦克劳林展开式（回忆右侧展开结构与阶数）：
e
x
=
1
+
x
+
2
!
x
2
+
⋯
+
n
!
x
n
+
o
(
x
n
)
sin
x
=
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
+
o
(
x
5
)
cos
x
=
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
+
o
(
x
4
)
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
2
x
2
+
3
x
3
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
+
o
(
x
n
)
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
2
!
α
(
α
−
1
)
x
2
+
o
(
x
2
)
1
−
x
1
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
o
(
x
n
)
arctan
x
=
x
−
3
x
3
+
5
x
5
+
o
(
x
5
)
tan
x
=
x
+
3
x
3
+
o
(
x
3
)
填空
必背
无穷小与无穷大
3 知识点 · 3 卡
无穷小的阶的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶的定义
问答
无穷小的运算性质；无穷大与无界的关系
问答
无穷大量一定是无界变量；无界变量一定是无穷大量。
判断
常见极限
3 知识点 · 3 卡
7 个必背常见极限结论（回忆极限值）：
n
→
∞
lim
n
n
=
1
n
→
∞
lim
n
a
=
1
(
a
>
0
)
x
→
0
+
lim
x
x
=
1
x
→
0
+
lim
x
α
ln
x
=
0
(
α
>
0
)
x
→
+
∞
lim
x
α
ln
x
=
0
(
α
>
0
)
x
→
+
∞
lim
a
x
x
α
=
0
(
a
>
1
)
n
→
∞
lim
n
!
a
n
=
0
填空
必背
x
→
∞
lim
b
m
x
m
+
⋯
+
b
0
a
n
x
n
+
⋯
+
a
0
=
b
m
a
n
（
n
=
m
）；
0
（
n
<
m
）；
∞
（
n
>
m
）
填空
x
→
0
lim
x
a
x
−
b
x
=
ln
b
a
，
x
→
0
lim
x
(
1
+
x
)
1/
x
−
e
=
−
2
e
，
n
→
∞
lim
n
(
n
a
−
1
)
=
ln
a
填空
连续与间断
6 知识点 · 6 卡
f
(
x
)
在
x
0
连续
⟺
x
→
x
0
lim
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
⟺
左连续且右连续
⟺
Δ
x
→
0
lim
Δ
y
=
0
填空
必背
间断点的分类及各自判定
问答
必背
若
f
(
x
)
在
x
0
处连续，
g
(
x
)
在
x
0
处间断，则
f
(
x
)
g
(
x
)
在
x
0
处必间断。
判断
初等函数在其定义区间内处处连续。
判断
含参数极限型函数
f
(
x
)
=
n
→
∞
lim
x
2
n
+
1
x
2
n
⋅
g
(
x
)
+
h
(
x
)
如何求其表达式并讨论间断点？
问答
闭区间上连续函数的四条性质各是什么？（换一种问法自测）
问答
闭区间连续函数
1 知识点 · 1 卡
闭区间上连续函数的四大性质
问答
必背
函数有界性
1 知识点 · 1 卡
判断函数在区间上有界的三个常用充分条件
问答
数列极限
2 知识点 · 2 卡
若数列
{
x
2
k
}
与
{
x
2
k
+
1
}
都收敛，则
{
x
n
}
收敛。
判断
海涅定理（归结原则）的内容及其在「证明极限不存在」中的用法
问答
极限计算
3 知识点 · 4 卡
求极限的通用流程（
0
0
、
∞
∞
、
0
⋅
∞
、
∞
−
∞
、
1
∞
、
0
0
、
∞
0
）
步骤
必背
定积分定义求
n
项和极限：
n
→
∞
lim
n
1
i
=
1
∑
n
f
(
n
i
)
=
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
填空
必背
七种未定式的首选处理：
0
0
、
∞
∞
用
洛必达或泰勒
；
0
⋅
∞
化为
分式
；
∞
−
∞
先
通分或倒代换
；幂指型
1
∞
,
0
0
,
∞
0
写成
e
v
l
n
u
，其中
1
∞
可简化为
e
l
i
m
(
u
−
1
)
v
；数列极限先
转化为函数极限（海涅定理）
，或用夹逼、单调有界、定积分定义
填空
必背
有理化的触发与操作：极限中出现「根式差」
A
−
B
（或
A
±
B
）且直接代入得
∞
−
∞
或
0
0
时，分子分母同乘共轭
A
+
B
，化为
A
+
B
A
−
B
消去根号。例：
x
→
+
∞
lim
(
x
2
+
x
−
x
)
=
x
→
+
∞
lim
x
2
+
x
+
x
x
=
2
1
填空
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